Pembahasan Olimpiade Matematika #28

8. Tentukan semua fungsi $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ sehingga $f(mn)+f(m+n)=f(m)f(n)+1$ untuk semua bilangan asli $n$ .
Solusi:
Substitusikan $n:=1,m:=1$ , $n:=2,m:=1$ , $n:3=,m:=1$ , $n:=2,m:=2$ , berturut-turut didapat
$f(1)+f(2)=f(1)^2+1\\f(2)+f(3)=f(2)f(1)+1\\f(3)+f(4)=f(3)f(1)+1\\2f(4)=f(2)^2+1.$
Dari persamaan 4, $f(4)=(f(2)^2+1)/2$ . Substitusikan ke persamaan 3, dengan sedikit aljabar didapat $f(3)(2f(1)-2)=f(2)^2-1$ . Anggaplah $f(1)\ne1$ , maka $f(3)=\frac{f(2)^2-1}{2f(1)-2}$ . Substitusikan ke persamaan 2, dengan sedikit aljabar lagi, kita dapat $f(1)(4f(2)-2f(2)^2-2)=2f(2)-f(2)^2-1$ . Jika $2f(2)-f(2)^2-1\ne0$ , maka $f(1)=\frac12$ yang tidak mungkin. Maka $2f(2)-f(2)^2-1=0$ , sehingga $f(2)=1$ . Subtitusikan ke persamaan pertama, $f(1)=1$ . Jadi analisa ini memberikan bahwa $f(1)=1$ atau $f(1)=2$ .
Jika $f(1)=1$ , substitusikan $m:=1$ , maka $f(n)+f(n+1)=f(n)+1$ . Maka $f(n+1)=1$ , sehingga $f(x)=1$ untuk semua $x$ . Jelas bahwa fungsi konstan ini memenuhi syarat soal.
Jika $f(1)=2$ , substitusikan $m:=1$ , $f(n)+f(n+1)=2f(n)+1$ sehingga $f(n+1)=f(n)+1$ . Secara induktif, kita dapat $f(x)=x+1$ untuk semua $x$ . Mudah dilihat bahwa fungsi ini memenuhi.
Jadi fungsinya adalah $f(x)=1,f(x)=x+1$ .

Wednesday, March 14, 2012

Pembahasan Olimpiade Matematika #28

Related Article to Pembahasan Olimpiade Matematika #28:

0 komentar:

Artikel Ter_Gress

Kumpulan Materi dan Soal SD

Kumpulan Materi dan Soal SMP

Kumpulan Materi dan Soal SMA

Traffic

Kotak Komentar

Followers